Bài tập cấp số cộng cấp số nhân

     
Bài tập cấp số cùng – cấp cho số nhân

1. Bắt tắt kim chỉ nan cấp số cộng và cấp cho số nhân

*

1.1. Cấp số cộng

Định nghĩa.

Bạn đang xem: Bài tập cấp số cộng cấp số nhân

dãy số $ (u_n) $ được khẳng định bởi $egincases u_1=u\u_n=u_n-1+d endcases$ được gọi là cung cấp số cùng với số hạng đầu bằng $ u $ cùng công sai $ d. $Tính hóa học 3 số hạng liên tiếp của cấp số cùng $$ u_k=fracu_k-1+u_k+12 $$Công thức số hạng bao quát của cung cấp số cộng $$ u_n=u_1+(n-1)d $$Tổng $ n $ số hạng trước tiên của cấp cho số cộng $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=fracn(u_1+u_n)2 $$

https://www.youtube.com/watch?v=ZbBZiMQnkbQ


1.2. Cung cấp số nhân

Định nghĩa. hàng số $ (u_n) $ được khẳng định bởi $egincases u_1=u\u_n=u_n-1cdot q endcases$ được gọi là cấp cho số nhân với số hạng đầu bởi $ u$ với công bội $ q. $Công thức số hạng tổng quát của cung cấp số nhân $$ u_n=u_1cdot q^n-1 $$Tính hóa học 3 số hạng tiếp tục của cấp số nhân $$ u_k^2=u_k-1.u_k+1 $$Tổng $ n $ số hạng trước tiên của cấp số nhân $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=u_1frac1-q^n1-q ,,, (q e 1)$$

2. Bài bác tập cấp số cộng

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng tất cả $ u_1=10,d=-4. $ kiếm tìm $ u_10 $ với $ S_10 $.


Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp số hạng tổng quát, ta tất cả số hạng thiết bị $10$ của cấp cho số cùng là $$ u_10=u_1 + (10-1)d = 10+9(-4)=-26 $$ Tổng ( 10 ) số hạng trước tiên của cấp cho số cộng đã chỉ ra rằng $$ S_10 = frac10left(u_1+u_10 ight)2=-80 $$


Ví dụ 2. Cho bố số dương $ a, b, c $ lập thành cung cấp số cộng. Chứng tỏ rằng:


$a^2+2bc=c^2+2ab$$a^2+8bc=(2b+c)^2$$(a^2+ab+b^2),(a^2+ac+c^2),(b^2+bc+c^2)$ lập thành cấp cho số cộng

Hướng dẫn. Ta có cha số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cùng khi còn chỉ khi $ 2b=a+c $.


$a^2+2bc=c^2+2ab$ tương đương với $$ a^2+(a+c)c=c^2+(a+c)a $$ Khai triển nhị vế đẳng thức này được điều phân minh đúng.$a^2+8bc=(2b+c)^2$ tương tự với $$ a^2+4c(a+c)=(a+c+c)^2 $$ Khai triển nhị vế đẳng thức này được điều phân minh đúng.$(a^2+ab+b^2),(a^2+ac+c^2),(b^2+bc+c^2)$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ còn khi$$ (a^2+ab+b^2) + (b^2+bc+c^2) = 2 (a^2+ac+c^2)$$ Khai triển cùng rút gọn gàng ta được eginalign*&ab+bc+2b^2=a^2+2ac+c^2\Leftrightarrow & (a+c)b+2b^2=(a+c)^2endalign* cụ ( a+c=2b ) vào hai vế đẳng thức trên ta được ( 4b^2=4b^2 ), đó là điều phân biệt đúng.

Ví dụ 3. tra cứu số hạng đầu cùng công không đúng của cung cấp số cộng $ (u_n) $ biết


$ egincases u_1-u_3+u_5=10\ u_1+u_6=17 endcases $$ egincases u_7-u_3=8\u_2.u_15=75 endcases $$ egincases u_1+u_4+u_5=25\u2-u_8=-24 endcases $

Ví dụ 4. khẳng định $ x $ để ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cung cấp số cộng.


Hướng dẫn. Ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cung cấp số cùng khi và chỉ còn khi $$ 10-3x+7-4x=2(2x^2+3) $$ Giải phương trình này, tìm được ( x=1, x=-frac114 ).


Ví dụ 5. Xác định một cung cấp số cộng bao gồm 3 số hạng, biết tổng của chúng bởi 9 với tổng bình phương là 125.


Giải: gọi $d$ là công không đúng của cấp số cộng và ba số buộc phải tìm là $(x – d),x, (x + d)$ thì ta gồm hệ phương trình:


$$ egincasesx-d+x+x+d=9\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=125endcases $$

Giải hệ trên, ta kiếm được với $d = 7$ cung cấp số cộng sẽ là $-4, 3, 10$ với với $d = -7$ cấp cho số là $10;,3,-4$.

Ví dụ 6. Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, hiểu được số đo 4 góc lập thành một cung cấp số cùng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn. Gọi $d=2a$ là công không đúng thì bốn số yêu cầu tìm là $$x – 3a,x – a,x + a,x + 3a$$ Ta có hệ phương trình: $$ egincasesleft( x-3 exta ight)+left( x-a ight)+left( x+a ight)+left( x+3a ight)=360^circ\left( x+3a ight)=5left( x-3a ight)endcases $$ Giải hệ này, tìm kiếm được ( x=90^circ ) với ( a=20^circ ). Suy ra, bốn góc yêu cầu tìm là:A = 300; B = 700 ; C = 1100 ; D = 1500.


Ví dụ 7. Tìm tổng những số hạng liên tiếp từ thiết bị 6 mang lại thứ 14 của cấp cho số cộng bao gồm số hạng thứ ba là 16 cùng công sai bằng 4.


Ví dụ 8. Cho hàm số $ y=x^3-3x^2-9x+m $ có đồ thị là $ (C). $ tra cứu $m$ đựng đồ thị $(C)$ giảm trục hoành tại tía điểm phân biệt tất cả hoành độ lập thành một cấp cho số cộng?


Hướng dẫn. Giả sử ba hoành độ là $ x_1,x_2,x_3 $. Từ $ x_1+x_3=2x_2 $ và Viét suy ra $ x_2=1. $ trường đoản cú đó kiếm được $ m $ cùng thử lại. Đáp số $ m=11. $


Ví dụ 9. search $m$ chứa đồ thị hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+2m+1 $ cắt trục hoành tại tứ điểm phân khác biệt thành một cung cấp số cộng.Đáp số.

Xem thêm: Soạn Văn 6 Bài 18 Sông Nước Cà Mau ", Soạn Văn 6 Vnen Bài 18: Sông Nước Cà Mau

$ m=4 $ cùng $ m=-frac49. $


Ví dụ 10. Cho phương trình : $x^4+3x^2-left( 24+m ight)x-26-n=0$. Tìm hệ thức contact giữa $m$ với $n$ để phương trình gồm 3 nghiệm rõ ràng $x_1,x_2,x_3$ lập thành một cung cấp số cộng?


Hướng dẫn. Vì 3 nghiệm khác nhau : $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp cho số cùng , buộc phải ta rất có thể đặt: $$x_1=x_0-d,x_2=x_0,x_3=x_0+dleft( d e 0 ight)$$ Theo giả thiết ta có: $$x^3 + 3x^2 – left( 24 + m ight)x – 26 – n = left( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight)left( x – x_3 ight)$$


Nhân ra và đồng điệu hệ số ở nhì vế của phương trình ta bao gồm hệ: $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarrayl– 3x_0 = 3\3x_0^2 – d^2 = – left( 24 + m ight)\– x_0^3 + x_0d^2 = – 26 – nendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx_0 = – 1\3 – d^2 = – 24 – m\1 – d^2 = – 26 – nendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx_0 = – 1\m = nendarray ight.endarray$$ Vậy với $m=n$ thì cha nghiệm phân minh của phương trình lập thành cấp số cộng.


Ví dụ 11. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $ sin^23x-5sin3x+4=0 $ trên khoảng chừng $ (0;50pi) $.


Đáp số. $ frac3725pi2 $.

3. Bài bác tập cung cấp số nhân

Ví dụ 1. mang đến dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = frac52$ với $u_n + 1 = 3u_n – 1$ với tất cả $n geqslant 1$. Minh chứng rằng dãy số $(v_n)$ khẳng định bởi $v_n = u_n = frac – 12$ với đa số $n geqslant 1$ là 1 trong cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn. Từ công thức khẳng định dãy số $ (u_n) $ với $ (v_n) $ ta có$$v_n + 1 = u_n + 1 – frac12 = 3u_n – 1 – frac12 = 3left( u_n – frac12 ight) = 3v_n ext với mọi ngeqslant 1. $$ Ta thấy ngay, $ (v_n) $ là một cấp số nhân cùng với số hạng đầu $ v_1=2 $ cùng công bội $ q=3. $

Ví dụ 2. Một cấp cho số nhân gồm 5 số hạng , công bội bằng một phần bốn số hạng đầu tiên , tổng của hai số hạng đầu bởi 24. Tìm cấp cho số nhân đó.

Hướng dẫn. Theo giả thiết ta bao gồm $$eginarrayl,,,,,,u_1 + u_2 = u_1 + frac14left( u_1 ight) = 24\Rightarrow u_1 + frac14u_1^2 – 24 = 0\Leftrightarrow u_1 = – 12 vee u_1 = 8endarray$$ Vậy bao gồm hai cấp số nhân tương ứng là $8,16,32,128$ hoặc $-12,36,-108,-972$.

Ví dụ 3. tìm kiếm số hạng đầu với công bội của cung cấp số nhân $ (u_n) $ biết

$ egincases u_4-u_2=72\u_5-u_3=144 endcases $$ egincases u_1-u_3+u_5=65\u_1+u_7=325 endcases $

Ví dụ 4. Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng những góc đó lập thành cấp cho số nhân và góc cuối cấp 9 lần góc sản phẩm hai.

Ví dụ 5. Tìm những số dương $ a,b $ sao cho $ a,a+2b,2a+b $ lập thành một cấp cho số cộng còn $ (b+1)^2,ab+5,(a+1)^2 $ lập thành một cấp số nhân.

Ví dụ 6. kiếm tìm $m$ nhằm phương trình $ x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0 $ có cha nghiệm lập thành một cung cấp số nhân.

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$ (x+2)(x^2+m+1)=0 Leftrightarrow left<eginarraylx=-2 \ x^2=-m-1endarray ight.$$Phương trình đã cho có tía nghiệm khi còn chỉ khi $$ egincasesmTH1. ( -5TH2. ( m

Tóm lại, không tồn tại giá trị nào của ( m ) thỏa mãn nhu cầu yêu cầu.

Ví dụ 7.

Xem thêm: Tập Làm Văn Sự Tích Hồ Ba Bể, Kể Lại Truyện Sự Tích Hồ Ba Bể (5 Mẫu)

Tính tổng $$ S=1+frac13+frac13^2+cdots+frac13^2015 $$

Ví dụ 8. Tìm những số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ hiểu được $$ egincasesu_1+u_2+u_3+u_4=15\u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85endcases $$Hướng dẫn. Giả sử cấp cho số nhân cần tìm gồm số hạng đầu bằng ( x ) cùng công bội ( q e 1). Thực hiện công thức tổng $n$ số hạng đầu của một cung cấp số nhân, chúng ta có$$ u_1+u_2+u_3+u_4=fracxleft(q^4-1 ight)q-1=15 $$ Bình phương hai vế ta được $$ x^2(q^4-1)^2/(q-1)^2 = 225 $$ Đối với tổng $ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$ ta có thể coi đây đó là tổng bốn số hạng đầu của một cấp số nhân cùng với số hạng đầu là ( x^2 ) và công bội ( q^2 ) buộc phải tổng của chúng là $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=fracx^2left(q^8-1 ight)q^2-1=85 $$

Chia từng vế nhì phương trình bên trên ta được $$ fracleft(q^4-1 ight)left(q^2-1 ight)left(q-1 ight)^2left(q^8-1 ight) =frac22585$$Rút gọn gàng rồi nhân chéo ta được phương trình $$ 14q^4 – 17q^3 – 17q^2 – 17q + 14 = 0 $$ Đến đây có thể sử dụng laptop để giải, kiếm được nghiệm ( q=2,q=frac12 ). Hoặc đặt ( t=q+frac1q ) và mang về phương trình bậc nhì ẩn ( t ).

Lời giải cụ thể cho ví dụ như này, mời thầy cô và những em học sinh xem trong video clip sau: