BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ LỚP 11 NÂNG CAO

     

Giới hạn hàm số xuất xắc thường điện thoại tư vấn là giới hạn của hàm số – Là kiến thức đặc biệt của toán 11 ở trong bậc THPT. Để học xuất sắc phần này chúng ta cần nắm rõ lý thuyết, biết cách áp dụng linh hoạt các dạng vào giải bài bác tập.Bạn sẽ xem: bài xích tập số lượng giới hạn hàm số lớp 11 nâng cao

1. Kim chỉ nan giới hạn hàm số

1.1 số lượng giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): đưa sử (a; b) là một trong khoảng chứa điểm x và y = f (x) là một trong hàm số xác định trên một khoảng chừng (a; b), hoàn toàn có thể trừ ở 1 điểm x. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L lúc x dần mang đến x (hoặc tại điểm x ) nếu với đa số dãy số (xn) trong tập vừa lòng (a; b) x cơ mà lim xn = x ta đều sở hữu lim f (xn) = L lúc đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L lúc x → x

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) khẳng định tại điểm x thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Định nghĩa 2.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11 nâng cao

(Giới hạn vô cực): mang sử (a; b) là 1 trong những khoảng chứa điểm x cùng y = f (x) là một trong những hàm số khẳng định trên một khoảng tầm (a; b), hoàn toàn có thể trừ ở một điểm x. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là vô rất khi x dần cho x (hoặc tại điểm x ) nếu với tất cả dãy số (xn) vào tập thích hợp (a; b) x nhưng lim xn = x

ta đều phải sở hữu limf(xn)= ±∞

Khi đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ lúc x → x

1.2 số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) xác minh trên khoảng tầm (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với tất cả dãy số (xn) trong tập đúng theo (a; +∞) nhưng lim xn = +∞

ta đều phải sở hữu lim f (xn) = L


*

1.3 một trong những định lý về giới hạn hữu hạn

Sau đấy là 3 định lý quan trọng về số lượng giới hạn hữu hạn hàm số


*

1.4 số lượng giới hạn một bên

Đề tìm số lượng giới hạn bên yêu cầu hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta phụ thuộc lý thuyết đặc biệt quan trọng sau


*

1.5 một trong những quy tắc tìm số lượng giới hạn vô cực

Sau đó là 2 Quy tắc đặc trưng đề tìm số lượng giới hạn vô cực bạn cần nhớ


*

1.6 những dạng vô định


*

2. Phân dạng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số kiếm tìm giới hạn

Sử dụng những định nghĩa 1, có mang 2, có mang 3.

Xem thêm: Unit 1 Lớp 9 Listen And Read Unit 1: A Visit From A Pen Pal, Unit 1 Lớp 9: Listen And Read

Bài tập 1.

Xem thêm: Tại Sao Khi Nào Vỏ Tôm Có Màu Đỏ Hồng ? Tại Sao Khi Chín Vỏ Tôm Có Màu Hồng

thực hiện định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải


Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ ko tồn tại

Ta tiến hành theo quá trình sau:


Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm con số giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos x ight)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn hai hàng số xn cùng yn với:


Dạng 3. Các định lí về số lượng giới hạn và giới hạn cơ phiên bản để search giới hạn

Ta có công dụng sau:


Cách 2: Sử dụng nguyên tắc kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight)$

ta thực hiện quá trình sau:


Bài tập 3: Tính những giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$

Lời giải

$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác minh tại điểm x thì số lượng giới hạn của nó lúc x → x có mức giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ tất cả f(x) ≠ 0 với g(x) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x có mức giá trị bằng ∞.Trong trường phù hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ tất cả f(x) = 0 (tức bao gồm dạng $frac00$)Chúng ta cần sử dụng những phép biến đổi đại số nhằm khử dạng $frac00$, và thường thì là làm mở ra nhân tử phổ biến (x − x)

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng các định lí với xem xét sau:

x → $x_0^ + $; được gọi là x → x với x > x ( khi đó |x − x| = x − x ).x → $x_0^ – $; được đọc là x → x cùng x ( khi đó |x − x| = x − x)

Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:

a) $mathop lim limits_x o 2^ + frac 3x – 6 ightx – 2$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracleftx – 2$

Lời giải

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracleftx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracleftx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3 ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, giả dụ hàm số f(x) không khẳng định tại điểm x thì số lượng giới hạn một bên của nó không khác so với số lượng giới hạn tại x

Dạng 5. Số lượng giới hạn của hàm số số kép


Bài tập 5. đến hàm số


Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( x ight)$ với $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( x ight)$

Lời giải


Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản hóa học của câu hỏi khử dạng không khẳng định $frac00$ là làm lộ diện nhân tử bình thường để:

Hoặc là khử nhân tử chung để lấy về dạng xác địnhHoặc là thay đổi về dạng số lượng giới hạn cơ bản, thân quen đã biết kết quả hoặc biết phương pháp giả


Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞

a) Đối cùng với dạng 0.∞ và ∞ ta lựa chọn 1 trong hai phương pháp sau

Cách 1: sử dụng phương pháp biến hóa để tận dụng những dạng giới hạn cơ bản

Cách 2: thực hiện nguyên lí kẹp giữa với những bước


b) Đối cùng với dạng 1∞ đề xuất nhớ các giới hạn cơ bạn dạng sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$

Trên trên đây là nội dung bài viết chia sẻ biện pháp tìm giới hạn hàm số và những dạng bài bác tập thường xuyên gặp. Bài xích tới ta vẫn học về hàm số liên tục, mới bạn đón xem.

Mọi vướng mắc bạn vui mừng để lại bình luận bên dưới để Toán học giải đáp cụ thể hơn. Chúc bạn làm việc tập hiệu quả