Các Bài Toán Về Dãy Số

Chuyên đề dãy số thuộc chương trình Toán nâng cao lớp 4, dành riêng cho các em học sinh hơi giỏi rèn luyện khả năng giải toán, bồi dưỡng ôn thi học sinh giỏi.

Bạn đang xem: Các bài toán về dãy số

A. Hàng số biện pháp đều

3. Những dạng bài cụ thể:1. Kiến thức cần lưu ý (cách giải)

1. Công thức cần nhớ trong việc dãy số biện pháp đều

Tính số những số hạng trong dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé xíu nhất của dãy) : khoảng bí quyết giữa nhị số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Tính tổng của hàng = (Số hạng lớn nhất của hàng + số hạng bé nhỏ nhất của dãy) x số số hạng tất cả trong dãy : 2

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giá bán trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………………… + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài bác cơ bản vào dạng bài tính tổng của dãy bao gồm quy luật phương pháp đều, cần tính giá bán trị của A theo công thức tính tổng của dãy số cách đều.

Bài giải

Dãy số trên bao gồm số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) x năm trước : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ 2: đến dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ……………

Tìm số hạng thứ năm trước của hàng số trên ?

Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng trong dãy giải pháp đều suy ra giải pháp tìm số hạng lớn nhất trong hàng là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1)xkhoảng phương pháp giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng nhỏ bé nhất vào dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của hàng số bên trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số:4028

Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong hàng đó là 2013 ?

Phân tích: Từ công thức tính số những số hạng vào dãy bí quyết đều suy ra bí quyết tìm số hạng bé xíu nhất trong dãy là: Số hạng bé bỏng nhất = Số hạng lớn nhất – (Số số hạng trong dãy – 1)xkhoảng bí quyết giữa nhị số hạng liên tiếp. Từ đó sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.

Bài giải

Số hạng nhỏ bé nhất trong dãy số đó là:

2013 – (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần tìm kiếm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số bên của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số bên của dãy phố đó bằng 915. Hãy đến biết số đơn vị đầu tiên của hàng phố đó là số làm sao ?

Phân tích: câu hỏi cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng giải pháp của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 với tổng của dãy số bên trên là 915. Từ đó sẽ tính được hiệu và tổng của số bên đầu và số nhà cuối. Sau đó chuyển bài toán về dạng search số nhỏ nhắn biết tổng cùng hiêu của nhị số đó.

Bài giải

Hiệu giữa số đơn vị cuối cùng số nhà đầu là:

(15 – 1) x 2 = 28

Tổng của số bên cuối và số đơn vị đầu là:

915 x 2 : 15 = 122

Số đơn vị đầu tiên trong hàng phố đó là:

(122 – 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

3. Các dạng bài bác cụ thể:

Dạng 1. Tra cứu số số hạng của dãy số

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Viết những số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối thuộc là 971. Hỏi viết được từng nào số?

Giải:Hai số lẻ liên tiếp hơn hèn nhau 2 đơn vịSố cuối hơn số đầu số đơn vị là:971 – 211 = 760 (đơn vị)760 đơn vị bao gồm số khoảng giải pháp là:760: 2 = 380 (khoảng cách)Dãy số trên gồm số số hạng là:380 +1 = 381 (số)Đáp số:381 số hạng

Bài 2:Cho dãy số 11, 14, 17,. .., 68.a, Hãy xác định dãy trên bao gồm bao nhiêu số hạng?b, Nếu ta tiếp tục kéo dãn các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1 996 là số mấy?

Giải:a, Ta có: 14 – 11 = 317 – 14 = 3Vậy quy luật của hàng là: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 3.Số các số hạng của hàng là:( 68 – 11 ): 3 + 1 = trăng tròn (số hạng)b, Ta nhận xét:Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 – 1) x 3Số hạng thứ ba: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 – 1) x 3Số hạng thứ tư : 20 = 11 + 9 = 11 + (4 – 1) x 3Vậy số hạng thứ 1 996 là: 11 + (1 996 – 1) x 3 = 5 996Đáp số: đôi mươi số hạng; 5 996

Bài 3:Trong các số có tía chữ số, tất cả bao nhiêu số chia hết cho 4?

Giải:Ta có nhận xét: số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết đến 4 là 100 cùng số lớn nhất có tía chữ số phân tách hết cho 4 là 996. Như vậy các số có cha chữ số phân chia hết mang đến 4 lập thành một dãy số bao gồm số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 và mỗi số hạng của hàng (Kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4.Vậy các số bao gồm 3 chữ số chia hết đến 4 là:(996 – 100): 4 + 1 = 225 (số)Đáp số: 225 số

Dạng 2. Tra cứu tổng các số hạng của dãy số:

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.

Giải:Dãy của 100 số lẻ đầu tiên là:1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199.Ta có:1 + 199 = 2003 + 197 = 2005 + 195 = 200…Vậy tổng phải kiếm tìm là:200 x 100: 2 = 10 000Đáp số 10 000

Bài 2:Viết những số chẵn liên tiếp:2, 4, 6, 8,. . . , 2000Tính tổng của hàng số trên

Giải:Dãy số bên trên 2 số chẵn liên tiếp hơn nhát nhau 2 đơn vị.Dãy số trên gồm số số hạng là:(2000 – 2): 2 + 1 = 1000 (số)1000 số tất cả số cặp số là:1000: 2 = 500 (cặp)Tổng 1 cặp là:2 + 2000 = 2002Tổng của dãy số là:2002 x 500 = 100100

Dạng 3. Tra cứu số hạng thứ n

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Cho hàng số: 1, 3, 5, 7,…Hỏi số hạng thứ trăng tròn của dãy là số nào?

Giải:Dãy đã chỉ ra rằng dãy số lẻ nên những số liên tiếp trong dãy biện pháp nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị.20 số hạng thì tất cả số khoảng cách là:20 – 1 = 19 (khoảng cách)19 số bao gồm số đơn vị là:19 x 2 = 38 (đơn vị)Số cuối cùng là:1 + 38 = 39Đáp số: Số hạng thứ trăng tròn của hàng là 39

Bài 2:Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào?

Giải:2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị20 số lẻ gồm số khoảng phương pháp là:20 – 1 = 19 (khoảng cách)19 khoảng cách gồm số đơn vị là:19 x 2 = 38 (đơn vị)Số đầu tiên là:2001 – 38 = 1963Đáp số : số đầu tiên là 1963.

Dạng 4. Tìm kiếm số chữ số biết số số hạng

Ghi nhớ:Để search số chữ số ta:+ kiếm tìm xem trong dãy số gồm bao nhiêu số số hạng+ trong số các số đó bao gồm bao nhiêu số tất cả 1, 2, 3, 4,. .. Chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Cho hàng số 1, 2, 3, 4,. .., 150.Dãy này còn có bao nhiêu chữ số

Giải:Dãy số 1, 2, 3,. .., 150 gồm 150 số.Trong 150 số có+ 9 số có một chữ số+ 90 số gồm 2 chữ số+ những số tất cả 3 chữ số là: 150 – 9 – 90 = 51 (chữ số)Dãy này còn có số chữ số là:1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (chữ số)Đáp số: 342 chữ số

Bài 2:Viết những số chẵn liên tiếp tữ 2 đến 1998 thì phải viết bao nhiêu chữ số?

Giải:Giải:Dãy số: 2, 4,. .., 1998 tất cả số số hạng là:(1998 – 2): 2 + 1 = 999 (số)Trong 999 số có:4 số chẵn có một chữ số45 số chẵn gồm 2 chữ số450 số chẵn gồm 3 chữ sốCác số chẵn gồm 4 chữ số là:999 – 4 – 45 – 450 = 500 (số)Số lượng chữ số phải viết là:1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (chữ số)đáp số: 3444 chữ số

Dạng 5. Tìm số số hạng biết số chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1:Một quyển sách coc 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó gồm bao nhiêu trang?

Giải:Để đánh số trang sách người ta bắt đầu đánh tữ trang số 1. Ta thấy để đánh số trang có một chữ số người ta đánh mất 9 số với mất:1 x 9 = 9 (chữ số)Số trang sách gồm 2 chữ số là 90 nên để đánh 90 trang này mất:2 x 90 = 180 (chữ số)Đánh quyển sách tất cả 435 chữ số như vậy chỉ đến số trang tất cả 3 chữ số. Số chữ số để đánh số trang sách gồm 3 chữ số là:435 – 9 – 180 = 246 (chữ số)246 chữ số thì đánh được số trang gồm 3 chữ số là:246: 3 = 82 (trang)Quyển sách đó có số trang là:9 + 90 + 82 = 181 (trang)đáp số: 181 trang

Bài 2:Viết những số lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thì viết đến số nào?

Giải:Từ 87 đến 99 có những số lẻ là:(99 – 87): 2 + 1 = 7 (số)Để viết 7 số lẻ cần:2 x 7 = 14 (chữ số)Có 450 số lẻ tất cả 3 chữ số bắt buộc cần:3 x 450 = 1350 (chữ số)Số chữ số sử dụng để viết các số lẻ gồm 4 chữ số là:3156 – 14 – 1350 = 1792 (chữ số)Viết được các số bao gồm 4 chữ số là:1792: 4 = 448 (số)Viết đến số:999 + (448 – 1) x 2 = 1893

———————–

* BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1:Tính tổng:a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999.b, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150.Bài 2:Có từng nào số:a, bao gồm 3 chữ số khi phân tách cho 5 dư 1? dư 2?b, tất cả 4 chữ số chia hết đến 3?c, bao gồm 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà phân chia hết cho 4?Bài 3:Khi đánh số thứ tự các dãy đơn vị trên một đường phố, người ta dùng những số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy thứ nhất và các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. để đánh số hàng thứ hai. Hỏi công ty cuối thuộc trong hàng chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu lúc đánh số dãy này người ta đã dùng 769 chữ cả thảy?Bài 4:Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích giải pháp tìm.

Xem thêm: Phương Pháp Chia Đa Thức - Chia Đa Thức Cho Đa Thức Toán Lớp 8

Bài 5:Tìm tổng của:a, những số bao gồm hai chữ số chia hết mang lại 3;b, các số có hai chữ số phân tách cho 4 dư 1;c, 100 số chẵn đầu tiên;d, 10 số lẻ không giống nhau lớn hơn đôi mươi và nhỏ hơn 40.

Bài 6:Viết 25 số lẻ liên tiếp số cuối thuộc là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào?Bài 7:Cho hàng số gồm 25 số hạng:.. . , 146, 150, 154.Hỏi số đầu tiên là số nào?

Bài 8:Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ sốBài 9:Viết những số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 60. Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến số nào?Bài 10:a, gồm bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số?b, gồm bao nhiêu số có 3 chữ số đều lẻ?c, tất cả bao nhiêu số bao gồm 5 chữ số cơ mà trong đó có ít nhất nhì chữ số giống nhau?Bài 11:Cho hàng số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,…, x.Tìm x biết hàng số có 1989 chữ sốBài 12:Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…; 108,9; 110,0a, hàng số này có bao nhiêu số hạng?b, Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào?

B – QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ:

1. Kiến thức cần lưu ý (cách giải)

Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số.Những quy luật thường gặp là:+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0;+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng nhì số hạng đứng trước nó;+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;v . . . V

Loại 1: dãy số giải pháp đều

Bài 1:Viết tiếp 3 số:a, 5, 10, 15, …b, 3, 7, 11, …

Giải:a, Vì: 10 – 5 = 515 – 10 = 5Dãy số bên trên 2 số hạng liền nhau hơn yếu nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:15 + 5 = 2020 + 5 = 2525 + 5 = 30Dãy số mới là:5, 10, 15, 20, 25, 30.b, 7 – 3 = 411 – 7 = 4Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:11 + 4 = 1515 + 4 = 1919 + 4 = 23Dãy số mới là:3, 7, 11, 15, 19, 23.Dãy số phương pháp đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn luôn bằng nhau

Loại 2: hàng số khác

Bài 1:Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, …b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, …c, 0, 3, 7, 12, …d, 1, 2, 6, 24, …

Giải:a, Ta nhận xét: 4 = 1 + 37 = 3 + 411 = 4 + 718 = 7 + 11…Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của nhị số hạng đứng trước nó. Viết tiếp tía số hạng, ta được dãy số sau:1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,…b, Tương tự bài xích a, ta tìm ra quy luật của hàng số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó.Viét tiếp tía số hạng, ta được hàng số sau.0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …c, ta nhận xét:Số hạng thứ nhì là:3 = 0 + 1 + 2Số hạng thứ bố là:7 = 3 + 1 + 3Số hạng thứ tư là:12 = 7 + 1 + 4. . .Từ đó đúc kết quy luật của hàng là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 với cộng với số thứ tự của số hạng ấy.Viết tiếp ba số hạng ta được hàng số sau.0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, …d, Ta nhận xét:Số hạng thứ nhị là2 = 1 x 2Số hạng thứ ba là6 = 2 x 3số hạng thứ tư là24 = 6 x 4. . .Từ đó rút ra quy luật của hàng số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.Viết tiếp cha số hạng ta được dãy số sau:1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …

Bài 2:Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:a, . . ., 17, 19, 21b, . . . , 64, 81, 100Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.

Giải:a, Ta nhận xét:Số hạng thứ mười là21 = 2 x 10 + 1Số hạng thứ chín là:19 = 2 x 9 + 1Số hạng thứ tám là:17 = 2 x 8 + 1. . .Từ đó suy ra quy luật của dãy số bên trên là:Mỗi số hạng của hàng bằng 2 x thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1.Vậy số hạng đầu tiên của hàng là2 x 1 + 1 = 3b, Tương tự như trên ta rút ra quy luật của hàng là:Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó.Vậy số hạng đầu tiên của hàng là:1 x 1 = 1

Bài 3:Lúc 7 giờ sáng, Một người xuất phát từ A, đi xe cộ đạp về B. Đến 11 giờ trưa người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngược gió, đến nen tốc độ của người đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tìm tốc độ của người đó lúc xuất phát, biết rằng tốc đọ đi vào tiếng cuối quãng đường là 10 km/ giờ ?

Giải:Thời gian người đó đi trên đường là:(11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ)Ta nhận xét:Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 7 là:10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0Tốc độ người đó đi vào tiếng thứ 6 là:12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1Tốc độ người đó đi vào tiếng thứ 5 là:14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2. . .Từ đó đúc kết tốc độ người đó dịp xuất phạt (trong tiếng thứ nhất) là:10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ)

Loại 3: Xác định số a tất cả thuộc dãy đã đến hay khôngCách giải:– Xác định quy luật của dãy.– Kiểm tra số a tất cả thoả mãn quy luật đó hay không.

Bài tập:Em hãy mang đến biết:a, các số 50 và 133 bao gồm thuộc hàng 90, 95, 100,. .. Tuyệt không?b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. Tuyệt không?c, Số nào trong những số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ..?Giải ưng ý tại sao?

Giải:a, Cả 2 số 50 với 133 đều không thuộc hàng đã mang đến vì– các số hạng của hàng đã mang lại đều lớn hơn 50;– các số hạng của dãy đã cho đều chia hết đến 5 nhưng 133 không phân tách hết đến 5.b, Số 1996 không thuộc hàng đã cho, bởi mọi số hạng của hàng khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1.c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì– Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên những số hạng (kể từ số hạng thứ 3) gồm số hạng đứng liền trước là số chẵn mà lại 666: 2 = 333 là số lẻ.– các số hạng của dãy đều phân tách hết mang lại 3 nhưng 1000 không phân tách hết mang đến 3– những số hạng của hàng (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn nhưng mà 9999 là số lẻ.

———————–

* BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1:Viết tiếp nhì số hạng của dãy số sau:a, 100; 93; 85; 76;…b, 10; 13; 18; 26;…c, 0; 1; 2; 4; 7; 12;…d, 0; 1; 4; 9; 18;…e, 5; 6; 8; 10;…f, 1; 6; 54; 648;…g, 1; 3; 3; 9; 27;…h, 1; 1; 3; 5; 17;…Bài 2:Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau thế nào cho mỗi số hạng vào tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó:49 +. .. . .. = 420.Giải thích phương pháp tìm.

Xem thêm: Chuyện “Sơn Tinh, Thủy Tinh” Thời Nay, Sơn Tinh, Thủy Tinh Thời Nay 2022

Bài 3:Tìm hai số hạng đầu của những dãy sau:a,. . . , 39, 42, 45;b,. . . , 4, 2, 0;c,. . . , 23, 25, 27, 29;Biết rằng mỗi dãy bao gồm 15 số hạng.