Cách Giải Phương Trình Logarit

     

Phương trình logarit cùng bất phương trình logarit cũng là trong những nội dung toán lớp 12 có trong đề thi THPT đất nước hàng năm, do vậy những em đề nghị nắm vững.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình logarit


Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit những em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit sẽ được họ ôn ở bài viết trước, nếu không nhớ các tính chất của hàm logarit các em hoàn toàn có thể xem lại Tại Đây.

I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình Logarit cơ bản

+ Phương trình logax = b (0b với tất cả b

2. Bất phương trình Logarit cơ bản

+ Xét bất phương trình logax > b:

- nếu a>1 thì logax > b ⇔ x > ab

- ví như 0ax > b ⇔ 0 b

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Giải phương trình logarit, bất PT logarit bằng cách thức đưa về thuộc cơ số

logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)

logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab

+ lưu giữ ý: Đối với các PT, BPT logarit ta đề nghị đặt điều kiện để những biểu thức logaf(x) tất cả nghĩa, tức là f(x) ≥ 0.

Xem thêm: Ai Là Người Phát Minh Ra Bài Kiểm Tra, Ai Là Người Sáng Lập Ra Thi Học Kì

2. Giải phương trình, bất PT Logarit bằng cách thức đặt ẩn phụ

+ Với các phương trình, bất PT logarit mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta rất có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x).

+ Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, họ cần phải chăm chú đến đặc điểm của PT, BPT logarit sẽ xét (có chứa căn, tất cả ẩn ở mẫu mã hay không) lúc đó ta phải để điều kiện cho những PT, BPT này có nghĩa.

Xem thêm: Bài Soạn Bài Tức Nước Vỡ Bờ (Trang 28), Soạn Bài Tức Nước Vỡ Bờ Ngắn Gọn

3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá

+ Đôi khi ta cấp thiết giải một phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp đưa về và một cơ số hay sử dụng ấn phụ được, lúc đó ta thể để x = at PT, BPT cơ bạn dạng (phương pháp này hotline là mũ hóa)

+ tín hiệu nhận biết: PT các loại này thường chứa được nhiều cơ số không giống nhau

II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT

* Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương thức cùng cơ số

Bài tập 1: Giải những phương trình sau

a) log3(2x+1) = log35

b) log2(x+3) = log2(2x2-x-1)

c) log5(x-1) = 2

d) log2(x-5) + log2(x+2) = 3

* Lời giải:

a) ĐK: 2x+1 > 0 ⇔ x>(-1/2)

PT ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thoả ĐK)

b) ĐK: x+3>0, 2x2 - x - 1 > 0 ta được: x>1 hoặc (-3)2(x+3) = log2(2x2-x-1) ⇔ x+3 = 2x2 - x - 1 ⇔ 2x2 - 2x - 4 = 0

⇔ x2 - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 (thoả) hoặc x = 2 (thoả)

c) ĐK: x - 1 > 0 ⇔ x > 1

Ta có: log5(x-1) = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 (thoả)

d) ĐK: x-5 > 0 với x + 2 > 0 ta được: x > 5

Ta có: log2(x-5) + log2(x+2) = 3 ⇔ log2(x-5)(x+2) = 3 ⇔ (x-5)(x+2) = 23

⇔ x2 - 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (thoả)

* Giải phương trình Logarit bằng cách thức đặt ẩn phụ

Bài tập 2: Giải những phương trình sau

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4

* Lời giải:

a) ĐK: x>0

Ta để t=log3x khi ấy PT ⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3

Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3

Với t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27

b) 4log9x + logx3 - 3 = 0 ĐK: 03x + 1/log3x -3 = 0

Ta để t = log3x khi ấy PT ⇔ 2t + 1/t - 3 = 0 ⇔ 2t2 - 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 hoặc t = 1/2

Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3 (thoả)

Với t = một nửa ⇔ log3x = 50% ⇔ x = √3 (thoả)

c) ĐK: log3x bao gồm nghĩa ⇔ x > 0

 Các mẫu của phân thức cần khác 0: (5+log3x)≠0 và (1 +log3x)≠0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1

 Ta đặt t = log3x (t ≠ -1, t ≠ -5) lúc đó:

 

*
 

⇔ (1+t) +2(5+t)=(1+t)(5+t) ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t - 6 = 0

⇔ 

*
 (thoả ĐK)

 thay t=log3x ta được kết quả: x =3t1 và x =3t2

d) 

*
 ĐK: x>0

 PT⇔ 

*

Đặt t=log2x Ta được PT: t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 ⇔ x = 2 

Với t = -2 ⇔ x = 1/4

e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4

 ĐK: 02(x-1) ta tất cả PT: 1+t = 2/t ⇔ t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 ⇔ x-1 = 2 ⇔ x = 3

Với t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x= 5/4.

* Giải phương trình Logarit áp dụng cách thức mũ hoá

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a) ln(x+3) = -1 + √3

b) log2(5 – 2x) = 2 – x 

* Lời giải:

a) ĐK: x-3>0 ⇔ x>3 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT:

*

*
 (thoả)

b) log2(5 – 2x) = 2 – x 

 ĐK: 5 - 2x > 0 ⇔ 2x x (t>0,tx2 - 5t + 4 = 0

 ⇔ t = 1 (thoả) hoặc t =4 (thoả)

 Với t = 1 ⇔ x = 0

 Với t = 4 ⇔ x = 2

Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau

a) log0,5(x+1) ≤ log2(2-x)

b) log2x - 13logx + 36 > 0

Lời giải:

a) ĐK: x+1>0 với 2-x>0 ⇔ -10,5(x+1) ≤ log2(2-x) ⇔ -log2(x+1)≤ log2(2-x) ⇔ log2(2-x) + log2(x+1) ≥ 0