Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

     

A.1 Hệ hai phương trình số 1 hai ẩn

a. Phương trình số 1 hai ẩnPhương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c cùng với a, b, c R (a2 + b2 ≠ 0)Tập nghiệm của phương trình hàng đầu hai ẩn:

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn gồm vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì con đường thẳng (d) là đồ gia dụng thị hàm số $ y=-fracabx+fraccb$Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình đổi mới ax = c tuyệt x = c/a và mặt đường thẳng (d) tuy vậy song hoặc trùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình phát triển thành by = c tốt y = c/b và con đường thẳng (d) tuy nhiên song hoặc trùng với trục hoànhb. Hệ nhị phương trình hàng đầu hai ẩnHệ nhị phương trình số 1 hai ẩn: $ left{ eginarraylax+by=c\a’x+b’y=c’endarray ight.$ trong những số ấy a, b, c, a’, b’, c’ ∈ RMinh họa tập nghiệm của hệ nhị phương trình số 1 hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi ấy ta có

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) (d’) = thì hệ gồm nghiệm duy nhất(d) $ equiv $ (d’) thì hệ bao gồm vô số nghiệmHệ phương trình tương đương

Hệ hai phương trình tương đương với nhau ví như chúng bao gồm cùng tập nghiệm

c. Giải hệ phương trình bằng phương thức thếQuy tắc thếGiải hệ phương trình bằng phương thức thếDùng quy tắc thế thay đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong số đó có một phương trình một ẩnGiải phương trình một ẩn vừa bao gồm rồi suy ra nghiệm của hệd. Giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số

– nguyên tắc cộng

– Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một trong những thích thích hợp (nếu cần) làm sao để cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình cân nhau hoặc đối nhau

+ Áp dụng quy tắc cộng đại số sẽ được hệ phương trình mới, trong số ấy có một phương trình mà hệ số của 1 trong các hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)

+ Giải phương trình một ẩn vừa nhận được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

A.2 Hệ phương trình đem về phương trình bậc hai

– ví như hai số x với y thỏa mãn x + y = S, x.y = p (với S2 ≥ 4P) lúc đó hai số x, y là nghiệm của phương trình: x2 + SX + p = 0

A.3 kỹ năng bổ xung

A.3.1. Hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1

a. Định nghĩa: Hệ nhị phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 giả dụ ta đổi vị trí hai ẩn x với y đó thì từng phương trình của hệ ko đổi

b. Biện pháp giải

Đặt S = x + y, phường = x.y, Đk: S2 4PGiải hệ nhằm tìm S với PVới từng cặp (S, P) thì x cùng y là nhị nghiệm của phương trình: t2 – St + phường = 0

c. Lấy ví dụ giải hệ phương trình:

$ left{ eginarraylx+y+xy=7\x^2+y^2+xy=13endarray ight.$

$ left{ eginarraylx+y+xy+1=0\x^2+y^2-x-y=22endarray ight.$

$ left{ eginarraylx+y+x^2+y^2=8\xy(x+1)(y+1)=12endarray ight.$

A.3.2. Hệ phương trình đối xứng các loại 2

a. Định nghĩa

Hệ nhì phương trình nhị ẩn x và y được hotline là đối xứng các loại 2 nếu như ta đổi chỗ hai ẩn x với y thì phương trình này biến đổi phương trình kia và ngược lại

b. Phương pháp giải

Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình nhì ẩnBiến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tíchGiải phương trình tích làm việc trên để màn biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)Thế x vị y (hoặc y vày x) vào 1 trong những 2 phương trình vào hệ để được phương trình một ẩnGiải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ

c. Ví dụ

Giải hệ phương trình:

$ displaystyle left{ eginarrayl2x=y^2-4y+5\2y=x^2-4x+5endarray ight.$

$ left{ eginarraylx^3=13x-6y\y^3=13y-6xendarray ight.$

A.3.3.Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

a. Định nghĩa

– Hệ phương trình quý phái bậc hai có dạng:

b. Bí quyết giải

Xét coi x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình khôngNếu x 0, ta để y = tx rồi cố gắng vào nhì phương trình vào hệKhử x rồi giải hệ tìm tThay y = tx vào trong 1 trong nhị phương trình của hệ và để được phương trình một ẩn (ẩn x)Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

* lưu giữ ý: ta hoàn toàn có thể thay x vị y với y do x trong phần trên để có cách giải tương tự

c. Ví dụ

Giải hệ phương trình:

$ left{ eginarraylx^2-4xy+y^2=1\y^2-3xy=4endarray ight.$

$ left{ eginarrayl2x^2-3xy+y^2=3\x^2+2xy-2y^2=6endarray ight.$

CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT hai ẨN

Dạng 1: Giải hệ phương trình có phiên bản và đem về dạng cơ bản

1. Vận dụng quy tắc nắm và quy tắc cùng đại số nhằm giải những hệ phương trình sau:

– Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

– Giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số

*

2. Bài tập

*

Dạng 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn số phụ

Bài tập:

*

Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải:

Từ một phương trình của hệ tra cứu y theo x rồi rứa vào phương trình đồ vật hai sẽ được phương trình hàng đầu đối cùng với xGiả sử phương trình bậc nhất đối cùng với x tất cả dạng: ax = b (1)Biện luận phương trình (1) ta sẽ có được sự biện luận của hệ

i) nếu như a = 0: (1) trở nên 0x = b

trường hợp b = 0 thì hệ gồm vô số nghiệm

Nếu b0 thì hệ vô nghiệm

ii) giả dụ a 0 thì (1) x = , nỗ lực vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bạn đang xem: Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

*

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

*

Dạng 4: khẳng định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đến trước

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình theo tham sốViết x, y của hệ về dạng: $ displaystyle n+frackf(m)$ với n, k nguyênTìm m nguyên nhằm f(m) là cầu của k

Ví dụ 1: xác định m nguyên để hệ có nghiệm nhất là nghiệm nguyên:

$ displaystyle left{ eginarraylmx+2y=m+1\2x+my=2m-1endarray ight.$

Giải

*

Bài tập:

Bài 1: Định m nguyên nhằm hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

$ displaystyle left{ eginarrayl(m+1)x+2y=m-1\m_^2x-y=m_^2+2mendarray ight.$

Bài 2:

a) Định m, n để hệ phương trình sau bao gồm nghiệm là (2; -1)

*

HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình cùng với ẩn m, n

b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 gồm hai nghiệm là x = 1 và x = -2

HD: Thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình cùng với ẩn a, b

c) xác định a, b để nhiều thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 phân chia hết mang đến 4x – 1 cùng x + 3

Bài 3: Xác định a, b để con đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)

HD: Đường trực tiếp y = ax + b trải qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình

Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy

HD:

– Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai tuyến đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: $ displaystyle left{ eginarrayl3x+2y=4\x+2y=3endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=0,5\y=1,25endarray ight.$ .

Xem thêm: Soạn Luyện Tập Viết Đoạn Văn Thuyết Minh Siêu Ngắn, Soạn Bài Luyện Tập Viết Đoạn Văn Thuyết Minh

Vậy M(0,2 ; 1,25)

Để tía đường trực tiếp trên đồng quy thì điểm M thuộc mặt đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m ⇔ m = -0,85

Vậy khi m = -0,85 thì tía đường trực tiếp trên đồng quy

Định m để 3 con đường thẳng sau đồng quy

a) 2x – y = m ; x – y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1

b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2

Bài 5: Định m để hệ phương trình gồm nghiệm độc nhất (x;y) thỏa mãn nhu cầu hệ thức mang lại trước

Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ eginarraylmx+4y=9\x+my=8endarray ight.$

Với quý giá nào của m để hệ tất cả nghiệm (x ; y) vừa lòng hệ thức:

$ displaystyle 2x+y+frac38m_^2-4=3$

HD: 

Giải hệ phương trình theo m ( m ≠ ± 2) sau đó thế vào hệ thức.

Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lý 11 Trang 10 Sgk Vật Lí 11, Bài 8 Trang 10 Sgk Vật Lí 11

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT hai ẨN

Bài 1: Cho hệ phương trình $ displaystyle left{ eginarraylmx+4y=10-m\x+my=4endarray ight.$ (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = $ displaystyle sqrt2$

b) Giải cùng biện luận hệ phương trình theo m

c) xác minh các quý giá nguyên của m nhằm hệ tất cả nghiệm nhất (x;y) thế nào cho x> 0, y > 0

d) với mức giá trị như thế nào của m thì hệ gồm nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 2: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ eginarrayl(m-1)x-my=3m-1\2x-y=m+5endarray ight.$

a) Giải cùng biện luận hệ phương trình theo m

b) với cái giá trị nguyên làm sao của m để hai tuyến đường thẳng của hệ cắt nhau trên một điểm nằm trong góc phần bốn thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ tất cả nghiệm nhất (x ; y) sao để cho P = x2 + y2 đạt giá bán trị nhỏ dại nhất.

Bài 3: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ eginarrayl3x+2y=4\2x-y=mendarray ight.$