Phương trình lượng giác chứa tham số

  -  

Phương trình lượng giác luôn là dạng toán gây cạnh tranh cho những em, vị dạng toán cũng tương đối đa dạng với tập nghiệm lại mang ý nghĩa tổng quát. Và vấn đề giải biện luận phương trình bao gồm tham số m đang càng tinh vi hơn bởi yên cầu kiến thức bao quát hơn.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác chứa tham số


Việc giải và biện luận phương trình lượng giác tất cả chứa tham số m để giúp các em thế được cách giải một những tổng quát, thông qua đó khi giải các phương trình lượng giác cụ thể sẽ cảm thấy tiện lợi hơn siêu nhiều.


Với các việc lượng giác đựng tham số thường xuyên yêu cầu tìm điều kiện của tham số nhằm phương trình tất cả nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số nhằm phương trình bao gồm n nghiệm thuộc một khoảng D làm sao đó. Nội dung bài viết dưới đây, sẽ giúp các em thâu tóm được bí quyết giải dạng phương trình này.

I. Phương pháp giải phương trình lượng giác đựng tham số m

Cho phương trình lượng giác gồm chứa tham số m dạng Q(m,x) = 0 (*)

Để giải bài toán biện luận phương trình lượng giác có chứa thông số m ta thường thực hiện hai cách sau:

phương pháp 1: cách thức tam thức bậc 2 (áp dụng khi đưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc 2)

- bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong những số ấy h(x) là một trong những biểu thức tương thích trong phương trình (*)

- bước 2: tìm kiếm miền quý hiếm (điều kiện) của t trên tập xác định D (x ∈ D). Call miền cực hiếm của t là D1

- cách 3: Đưa phương trình (*) về phương trình dạng f(m,t) = at2 + bt + c = 0 (**)

- bước 4: Giải (**) tìm đk để tam thức f(m,t) tất cả nghiệm

- bước 5: Kết luận

 Cách 2: Phương pháp đạo hàm

- cách 1: Từ phương trình (*): Q(x,m) = 0 ta thường đổi khác về dạng F(x) = m cùng đặt ẩn phụ để đưa về dạng G(t) = m.

Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác minh D (x ∈ D). Hotline miền quý giá của t là D1

- bước 3: Lập bảng biến chuyển thiên của hàm số G(t) bên trên miền khẳng định D1

- bước 4: phụ thuộc bảng đổi mới thiên của hàm số nhằm biện luận nghiệm của phương trình.

Một số dạng quan trọng như phương trình: asinx + bcosx = c bao gồm nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

II. Giải cùng biện luận phương trình gồm chứa thông số m qua lấy một ví dụ minh họa

* lấy ví dụ 1: tìm kiếm m để phương trình sau gồm nghiệm:

 2sin2x - sinx.cosx - cos2x - m = 0 (*)

* Lời giải:

- Ta có: 

*

*

(*) tất cả nghiệm ⇔ 12 + 32 ≥ (1 - 2m)2

⇔ 4m2 - 4m - 9 ≤ 0

⇔ 

*

Vậy cùng với

*
 thì phương trình (*) gồm nghiệm.

Xem thêm: Tả Con Mèo Lớp 4 Ngắn Hay ❤️️15 Bài Văn Tả Con Mèo Lớp 4 Ngắn Gọn Nhất )

* lấy ví dụ 2: tra cứu m nhằm phương trình sau có nghiệm x (0; π/4)

 mcos2x - 4sinx.cosx + m - 2 = 0 (*)

* Lời giải:

Với x∈(0; π/4) suy ra cosx ≠ 0.

Có sử dụng những công thức lượng giác cơ bản: 

*

Ta phân chia cả nhì vế của phương trình mang đến cos2x ≠ 0 ta được:

 m - 4tanx + (m - 2)(1 + tan2x) = 0

⇔ (m - 2)tan2x - 4tanx + 2m - 2 = 0 (**)

Đặt t = tanx vì x∈(0; π/4) cần t∈(0;1), ta được

 (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0 (***)

Khi đó (*) có nghiệm x∈(0;π/4) khi và chỉ còn khi (***) gồm nghiệm t∈(0;1)

Ta hoàn toàn có thể sử dụng một trong những hai giải pháp giải vẫn nêu sinh hoạt trên và câu hỏi này.

* biện pháp 1: thực hiện tam thức bậc 2 (giải tựa như cách giải và biện luận phương trình bậc 2 một ẩn bao gồm tham số).

+) với m - 2 = 0 ⇔ m = 2 lúc đó (***) tất cả dạng:

 -4t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2∈(0;1)

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài bác toán

+) Với m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 khi ấy (***) có nghiệm t∈(0;1) có thể xảy ra 2 trường hợp

- TH1: pt(***) có 1 nghiệm trực thuộc đoạn (0;1), tức là:

 f(0).f(1)

 ⇔ 1

- TH2: pt(***) có 2 nghiệm ở trong đoạn (0;1)

*

Không có mức giá trị như thế nào m thỏa

(Giải thích ý nghĩa hệ trên: Δ"≥0 để phương trình có 2 nghiệm; af(1)>0 để 1 ở ngoài khoảng tầm 2 nghiệm; af(0)>0 để 0 nằm ngoài khoảng chừng hai nghiệm; 0

⇒ Kết luận: với 1

* phương pháp 2: Dùng phương pháp đạo hàm (hàm số)

- Viết lại phương trình: (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0

 ⇔ mt2 - 2t2 - 4t + 2m - 2 = 0

 ⇔ (t2 + 2)m = 2t2 + 4t + 2

 

*

Phương trình bao gồm nghiệm x ∈(0;π/4) khi và chỉ còn khi mặt đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số  trên (0;1).

Xét hàm số (C):  trên (0;1)

ta có: 

*
 
*
 tức là hàm số đồng thay đổi trên (0;1).

Xem thêm: Giải Toán 10: Bài 1 Trang 41 Sgk Toán 10 : Hàm Số Y = Ax+B, Giải Toán 10 Trang 41, 42

Do đó con đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C) trên khoảng tầm (0;1) khi còn chỉ khi:

y(0) * ví dụ 3: Tìm m nhằm phương trình sau có nghiệm x∈(0;π/12):

 cos4x = cos23x + msin2x (*)

* Lời giải:

Sử dụng công thức bậc 2, bí quyết bậc 3

- Ta có: 

*

 

*

Đặt t = cos2x, vì x∈(0;π/12) nên 2x∈(0;π/6)

suy ta: t = cos2x thì  khi đó, ta có:

 

*

*

*

*
 (vì t≠1).

* phương pháp 1: Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t, ta có:

 

*

Vì  nên

*

Do đó (*) gồm nghiệm x∈(0;π/12) khi và chỉ khi con đường thẳng y = m giảm (P) trên 

*

sin4x + cos4x = sin4x + 2sin2xcos2x + cos4x - 2sin2xcos2x

 = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x = 1 - 2(sinxcosx)2

 

*

sin24x = (sin4x)2 = (2sin2xco2x)2 = 4sin22xcos22x

 = 4sin22x(1 - sin22x) = 4sin22x - 4sin42x

Do đó, phương trình (*) được đưa về dạng

*

*

*

Đặt t = sin22x đk 0 ≤ t ≤ 1 lúc đó phương trình bao gồm dạng:

 4t2 - 3t = m (1)

* biện pháp 1: Để pt(*) có nghiệp thì pt(1) bao gồm nghiệm t∈<0;1>. Bao gồm 2 trường hợp: Pt(1) có 1 nghiệm hoặc gồm 2 trực thuộc <0;1>