TÍNH TÍCH PHÂN 2 LỚP

     

*
Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn bởi đường L (đóng cùng bị ngăn ; miền D kín đáo nếu nó giới hạn bởi đường cong kín, và những điểm bên trên biên L được xem như là thuộc D)

Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D cùng mặt trên là khía cạnh cong z = f(x,y) (f(x,y) xác minh và liên tiếp trong miền D).

Bạn đang xem: Tính tích phân 2 lớp

Khi đó, ta phân chia miền D thành n phần có diện tích s tương ứng là

*
và từng miền có 2 lần bán kính là
*
(đường kính của một miền là khoảng cách lớn tốt nhất giữa nhì điểm thuộc miền đó. Xuất xắc ta rất có thể ký hiệu:
*
)

Lấy trên mỗi miền một điểm

*
khi đó trên từng miền
*
, thì hình tròn trụ sẽ giao động với hình trụ có đáy là
*
và chiều cao là
*
. Vì đó, thể tích của hình trụ xuất hiện đáy là D cùng mặt bên trên là f(x,y) có thể tính giao động bởi:

*

Như vậy, tổng Vn nhờ vào vào biện pháp chia (còn call là phân hoạch của ) miền D và biện pháp chọn điểm Pi. Bởi vậy, nếu bọn họ chia miền D càng các thì thể tích hình trụ càng chủ yếu xác. Nghĩa là, 2 lần bán kính di của từng miền càng nhỏ (càng tiến về 0) thì ta sẽ có đúng chuẩn diện tích của miền D.

Vậy, cho

*
làm sao để cho
*
. Khiđó, nếu tổng toàn quốc tiến cho 1 quý giá hữu hạn V không dựa vào cách phân chia miền D và cách chọn điểm Pi thì giới hạn V này được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D với được ký hiệu
*

trong đó: hàm số f(x,y) được call là hàm dưới dấu tích phân, D được gọi là miền rước tích phân; ds là yếu tố diện tích.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân nhị lớp) được khởi nguồn từ yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong ngẫu nhiên và dưới mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Vì đó, f(x,y) > 0. Mặc dù nhiên, ta vẫn rất có thể xét trường phù hợp f(x,y)

*

Ta có:

Hình a : D là miền mọi theo phương Oy (dù đưởng trực tiếp x = a với x = b cắt miền D tại rất nhiều điểm, nhưng là hồ hết điểm biên chứ chưa hẳn điểm trong) và gồm cùng 1đường vào, 1 con đường ra dẫu vậy không là miền phần đông theo phương Ox vì có 1 vùng mà hầu như đưởng thẳng tuy nhiên song cùng với trục Ox, đi qua điểm vào và cắt biên tại 4 điểm.

Hình b: D là miền hầu hết theo phương Oy tất cả đường vào g1(x) và mặt đường ra g2(x). Ngoại trừ ra, D cũng là miền mọi theo phương Ox nhưng bao gồm 2 mặt đường vào và 1 đường ra x = b.

Hình c: D là miền đều theo phương Oy, tất cả cùng 1 con đường vào, và 1đường ra. Sát bên đó, D là miền phần lớn theo phương Ox nhưng có tới 2 con đường vào với 2 mặt đường ra.

2. Những miền D được khẳng định dưới đấy là miền số đông theo phương Ox. Bạn hãy xét xem nó liệu có phải là miền những theo phương Oy không? và nếu là miền đều, hãy xét xem nó tất cả mấy con đường vào cùng mấy mặt đường ra?

*

3.2 cách tính (Định lý Fubini)

1. Nếu D xácđịnh do

*
g, h liên tiếp trên thì:

*

*

2. Nếu D xácđịnh vì

*
g, h tiếp tục trên thì:

*

*

(Cách minh chứng định lý Fubini, những em bao gồm thể tìm hiểu thêm trong những giáo trình)

Nhận xét:

1. Ở trường hòa hợp 1, ta tất cả D là miền đầy đủ theo phương Oy trong tầm

*
và có cùng 1 mặt đường vào g(x) và cùng 1 mặt đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo đổi mới y trước (coi x là hằng số) với cận bên dưới là đường vào với cận trên đó là đường ra. Sau khoản thời gian có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến hóa x trong đoạn .

2. Miền đầy đủ theo phương Oy thì mặt đường vào, con đường ra là hàm theo phát triển thành x.

3. Ở trường thích hợp 2, ta gồm D là miền số đông theo phương Ox trong tầm

*
và có cùng 1 đường vào h1(y) và cùng 1 con đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo đổi thay x trước (coi y là hằng số) cùng với cận dưới là mặt đường vào và cận trên đó là đường ra. Sau thời điểm có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo vươn lên là y trong đoạn .

4. Miền đa số theo phương Ox thì mặt đường vào, con đường ra là hàm theo đổi mới y.

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Về Nhân Hóa Lớp 3 Có Đáp An, Bài Tập Về Nhân Hóa Lớp 3 Có Đáp Án

3.3 cách thức tính:

1. Vẽ miền rước tích phân D

2. Xét xem miền D có phải là miền phần lớn theo phương Ox (hoặc Oy) không? nếu như miền rước tích phân không gần như thì ta chia miền D thành phần đông miền đều không tồn tại phần vào chung.

3. Lựa chọn đường vào và đường ra (thích hợp) mang lại miền D. Nếu như mền D không có cùng 1đường vào và 1 con đường ra thì ta phân tách miền D thành gần như miền nhỏ dại sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng tất cả cùng 1đường vào với 1 đường ra.

4. Áp dụng bí quyết Fubini cùng các đặc thù tích phân nhằm tính tích phân hai lớp theo phương Oy (hoặc Ox).

4. Một số trong những ví dụ:

1. Xác minh cận mang tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:

*
, trong các số đó D là miền cung tròn phía bên trong đoạn trường đoản cú
*
đến 1 của nửa dưới đường tròn (O; 2) được xác định như hình bên dưới đây:

*

Giải:

Ta có miền D giới hạn bởi các đường:

*
,
*
,
*
cùng
*

Theo phương Oy ta có:

D là miền đều trong khoảng

*
và bao gồm cùng con đường vào
*
và cùng đường ra
*

Do đó ta có:

*

Ngược lại, giả dụ đổi sản phẩm công nghệ tự đem tích phân thì theo phương Ox ta có:

D là miền đếu theo phương Ox trongđoạn <-2 ; 0>. Tuy nhiên, đường biên giới trái của D gồm 2 đoạn AB cùng BC(-2) tất cả phương trình khác biệt (không cùng con đường vào) và con đường bên đề xuất của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình khác biệt (kông cùng con đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không tồn tại cùng tung độ cần ta cần chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE cùng C(-2)D bởi những đường thẳng song song cùng với trục Ox: (BE): y = -1, (CD):

*

Trong miền ABEF nằm trong lòng 2 mặt đường thẳng y = -1 cùng y = 0, đường vào tất cả phương trình

*
và đường ra bao gồm phương trình: x = 1.

Trong miền BCDE nằm giữa 2 con đường thẳng

*
và y = -1, mặt đường vào tất cả phương trình
*
và con đường ra tất cả phương trình: x = 1.

Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn tự y = -2 mang lại

*
, con đường vào bao gồm phương trình
*
và mặt đường ra tất cả phương trìnhh:
*

Vậy:

*

Vd2. Tính

*
, D là miền giới hạn bởi các đường:
*
với
*

Giải

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
cùng
*
là A(2;-2) và C (8;4) với miền D được khẳng định như hình bên.

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D bao gồm cùng 1 mặt đường vào là

*
và thuộc 1 đưởng ra là x = y + 4.

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại sở hữu 2 mặt đường vào là y = x – 4 với

*
và có chung 1 đường ra là
*
. Do đó, ta phân chia miền D thành 2 miền D1, D2 bởi đoạn AB để trên mỗi miền tất cả chung 1 mặt đường vào và 1 con đường ra.

Xem thêm: Cho 20 Điểm Trong Đó Có A Điểm Thẳng Hàng, Cho 20 Điểm, Trong Đó Có A Điểm Thẳng Hàng

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán tương tự như trên, ta tất cả kết quả.

Nhận xét:

1. Từ tích phân bên trên miền D1, ta phân biệt cận của tích phân theo đổi mới y bao gồm tính đối xứng, hay phụ thuộc vào ồ thị ta bao gồm miền D là miền đối xứng qua Ox. Bởi đó, ví như hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bởi 0; còn giả dụ f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ bằng gấp đôi tích phân bên trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, giả dụ miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, giả dụ miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox với Oy cùng f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D phía bên trong góc phần tứ thứ nhất)

(Các hiệu quả trên coi như bài tập, những em tự bệnh minh)

4. Giả sử

*
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tựu của 2 tích phân đơn. Các em tự hội chứng minh)